La banda de moebius
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Cómo hacer una tira de möbius
Cuando estaba en el instituto, mi profesora de inglés, la Sra. Mulvihill, dio a cada uno de nuestros compañeros una pregunta individual para que la respondieran como tarea final. A uno de mis compañeros le preguntó: “¿Cuál es la forma del tiempo en Cien años de soledad?”. Respondió con una historia: su familia tenía un perro que se perseguía la cola. El perro se volvía loco, corriendo en círculos, con los dientes desnudos, cazando sus propias patas traseras. Un día, corriendo tras su cola, se la mordió. Esa es la forma del tiempo en Cien años de soledad.
En este año de soledad, desorientación y distancia, hemos estado navegando por lo que parece un terreno y un tiempo deformes. Pero a diferencia de los personajes de Macondo, el pueblo ficticio de Márquez que está “exiliado de la memoria de los hombres”, nosotros seguimos recordando y descubriendo. Incluso mientras lloramos a las personas que hemos perdido, la innovación científica prospera, y salva.
La oscuridad puede parecer una superficie interminable, sin límites. Podemos recorrerla solos; podemos recorrerla juntos. Pero ahora sabemos que hay algo más que puede ser un rizo infinito, un terreno vertiginoso, una hipótesis efervescente confirmada: la luz. Sólo hace falta un pequeño empujón.
Simbolismo de la banda de möbius
En matemáticas, la orientabilidad es una propiedad de las superficies en el espacio euclidiano que mide si es posible hacer una elección coherente del vector normal de la superficie en cada punto. La elección de un vector normal permite utilizar la regla de la mano derecha para definir la dirección de los bucles en la superficie en el sentido de las agujas del reloj, tal y como necesita, por ejemplo, el teorema de Stokes. En términos más generales, la orientabilidad de una superficie abstracta, o colector, mide si se puede elegir sistemáticamente una orientación “en el sentido de las agujas del reloj” para todos los bucles del colector. De forma equivalente, una superficie es orientable si una figura bidimensional (como ) en el espacio no puede moverse continuamente sobre esa superficie y volver a su punto de partida de forma que se parezca a su propia imagen especular ().
La noción de orientabilidad puede generalizarse también a las variedades de mayor dimensión[1] Una variedad es orientable si tiene una elección consistente de orientación, y una variedad orientable conectada tiene exactamente dos orientaciones posibles. En este contexto, pueden darse varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y del nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a las variedades topológicas generales suelen emplear métodos de la teoría de la homología, mientras que en el caso de las variedades diferenciables hay más estructura, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales. Una importante generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras) para el que debe seleccionarse una orientación en cada uno de los espacios que varíe continuamente con respecto a los cambios en los valores de los parámetros.
Bucle de mobius
Se pueden obtener otras tiras análogas uniendo de forma similar tiras con dos o más medias torsiones en lugar de una. Por ejemplo, una tira con tres medias torsiones, al dividirla longitudinalmente, se convierte en una tira retorcida atada con un nudo trébol; si se deshace este nudo, se descubre que contiene ocho medias torsiones. Una tira con N medias torsiones, al dividirla, se convierte en una tira con N + 1 torsiones completas[2] Al darle torsiones adicionales y volver a unir los extremos se obtienen las figuras denominadas Anillos Paradrómicos.
Un objeto que existiera en un universo con forma de tira de mobius sería indistinguible de su propia imagen en el espejo: la pinza más grande de este cangrejo violinista cambia de izquierda a derecha con cada circulación. No es imposible que el universo tenga esta propiedad; véase agujero de gusano no orientable
tira plegada cuya sección transversal tiene la forma de una “N” y que seguiría siendo una “N” después de una media vuelta. Esta tira plegada, tres veces más larga que ancha, sería lo suficientemente larga como para unirse después por los extremos. Este método funciona en principio, pero resulta poco práctico después de un número suficiente de pliegues, si se utiliza papel. Utilizando papel normal, esta construcción puede doblarse en plano, con todas las capas del papel en un solo plano, pero matemáticamente no está claro si esto es posible sin estirar la superficie del rectángulo[11].
Anillo de mobius
Un topólogo estudia las propiedades de los objetos que se conservan al moverlos, doblarlos, estirarlos o retorcerlos, sin cortar ni pegar las partes. Por ejemplo, un par de auriculares enredados es, en un sentido topológico, lo mismo que un par de auriculares sin enredar, porque para transformar uno en otro sólo hay que moverlo, doblarlo y retorcerlo. No es necesario cortar ni pegar para transformarlos.
Otro par de objetos que son topológicamente iguales son una taza de café y un donut. Como ambos objetos tienen un solo agujero, uno puede deformarse en el otro con sólo estirarlo y doblarlo.
El número de agujeros de un objeto es una propiedad que sólo puede modificarse cortando o pegando. Esta propiedad -llamada “género” de un objeto- nos permite decir que un par de auriculares y un donut son topológicamente diferentes, ya que un donut tiene un agujero, mientras que un par de auriculares no tiene agujeros.
Imagina que escribes una nota en una superficie transparente y luego das un paseo por ella. La superficie es orientable si, cuando vuelves de tu paseo, siempre puedes leer la nota. En una superficie no orientable, es posible que al volver del paseo te encuentres con que las palabras que has escrito se han convertido aparentemente en su imagen especular y sólo se pueden leer de derecha a izquierda. En el bucle de dos caras, la nota siempre se leerá de izquierda a derecha, sin importar a dónde te haya llevado tu viaje.
