Retroalimentación
Te darás cuenta de que en este algoritmo a veces tomamos una raíz cuadrada e inmediatamente la volvemos a elevar al cuadrado como parte del siguiente paso, y a veces restamos algo de 2 e inmediatamente restamos el resultado de 4. Podemos evitar estas ineficiencias definiendo $M_n = 4 – L_n^2$.
Pero este método sólo dará un valor aproximado, que tiene una precisión de 5-10 decimales. Si quieres un valor exacto la mejor opción es utilizar el cálculo. Puedes utilizar lo que hizo Arquímedes. Inscribe y circunscribe un polígono en un círculo, a medida que el número de lados aumenta, el área del círculo se intercalará entre las áreas de los dos polígonos. Si tomas “infinit-gon” obtendrás los valores exactos.
Dos de los algoritmos más rápidos son el de Brent-Salamin, basado en los trabajos de Gauss y Legendre, y el de Chudnovsky, basado en una variante de una de las fórmulas de Ramanujan. También hay algoritmos interesantes, como la fórmula Bailey-Borwein-Plouffe, que puede calcular eficazmente determinados dígitos de π sin calcular ningún otro. También puedes encontrar mucho más en Wikipedia.
Pelea de pi
Pi (π) es uno de los números más importantes y fascinantes de las matemáticas. Aproximadamente 3,14, es una constante que se utiliza para calcular la circunferencia de un círculo a partir del radio o diámetro de ese círculo[1].
Resumen del artículoXPi es aproximadamente 3,14, pero en realidad es un número infinito que nunca se repite. Si quieres calcular pi, mide primero la circunferencia de un círculo enrollando un trozo de cuerda alrededor del borde del mismo y midiendo después la longitud de la cuerda. A continuación, mide el diámetro del círculo, que es la distancia entre un lado y otro que pasa por el centro. Una vez que tengas la circunferencia y el diámetro, introdúcelos en la fórmula π=c/d, donde “π” es pi, “c” es la circunferencia y “d” es el diámetro. Sólo tienes que dividir la circunferencia entre el diámetro para calcular pi. Para aprender a calcular pi utilizando una función límite o seno, sigue leyendo el artículo.
Historia de pi
Haz un breve experimento: Con un compás, dibuja un círculo. Coge un trozo de cuerda y colócalo encima del círculo, exactamente una vez alrededor. Ahora endereza la cuerda; su longitud se llama la circunferencia del círculo. Mide la circunferencia con una regla. A continuación, mide el diámetro del círculo, que es la longitud desde cualquier punto del círculo que pase directamente por su centro hasta otro punto del lado opuesto. (El diámetro es el doble del radio, la longitud desde cualquier punto del círculo hasta su centro). Si divides la circunferencia del círculo por el diámetro, obtendrás aproximadamente 3,14, independientemente del tamaño del círculo que hayas dibujado. Un círculo más grande tendrá una circunferencia más grande y un radio más grande, pero la proporción siempre será la misma. Si pudieras medir y dividir perfectamente, obtendrías 3,141592653589793238…, o pi.
Pi se utiliza más comúnmente en ciertos cálculos relacionados con los círculos. Pi no sólo relaciona la circunferencia y el diámetro. Sorprendentemente, también relaciona el diámetro o radio de un círculo con el área de ese círculo mediante la fórmula: el área es igual a pi por el radio al cuadrado. Además, pi aparece a menudo de forma inesperada en muchas situaciones matemáticas. Por ejemplo, la suma de la serie infinita
Valor de pi
Estoy buscando la forma más rápida de obtener el valor de π, como un reto personal. Más específicamente, estoy utilizando formas que no impliquen el uso de constantes #define como M_PI, o la codificación del número.
El programa de abajo prueba las distintas formas que conozco. La versión de ensamblaje en línea es, en teoría, la opción más rápida, aunque claramente no es portable. La he incluido como base para comparar con las otras versiones. En mis pruebas, con build-ins, la versión 4 * atan(1) es la más rápida en GCC 4.2, porque auto-dobla el atan(1) en una constante. Si se especifica -fno-builtin, la versión atan2(0, -1) es la más rápida.
Además de probar entre varias banderas del compilador (también he comparado 32 bits contra 64 bits porque las optimizaciones son diferentes), también he probado a cambiar el orden de las pruebas. Pero aún así, la versión atan2(0, -1) sigue siendo la más rápida.
El método de Montecarlo, como ya se ha dicho, aplica algunos conceptos estupendos, pero está claro que no es el más rápido, ni de lejos, ni por ninguna medida razonable. Además, todo depende del tipo de precisión que se busque. El π más rápido que conozco es el que tiene los dígitos codificados. Mirando a Pi y Pi[PDF], hay un montón de fórmulas.
