Formulas de seno y coseno
Tangente
¿Cómo se puede medir la altura de una montaña? ¿Y la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para encontrar las respuestas. Las identidades trigonométricas, utilizadas habitualmente en las demostraciones matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluyendo su uso en el cálculo de grandes distancias.
Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950, pero los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones.
En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ten en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad.
Comentarios
Bueno, en cálculo usamos MUCHO las funciones trigonométricas: en sustituciones integrales, en series, series de taylor (como las que mostré ahora), derivadas, pruebas de convergencia (como la onde de Euler en el problema de basel) y otras cosas…
Todas las definiciones que veo, son un poco circulares o no lo suficientemente rigurosas para hacerme sentir bien tomando algunas derivadas o sustituciones integrales, porque siempre me importa el dominio de estas cosas. Así que quiero definirlo muy bien y poder usar todas las identidades trigonométricas.
ps: Sé que usé algunas palabras primitivas en algunas definiciones, como ‘viaje’, así que las dejé en el énfasis, pero espero que ustedes entiendan. Y perdón por el largo post, pero necesitaba hacerlo, porque nunca he visto una definición completa en ningún libro. Gracias.
La definición estándar de las funciones trigonométricas es en términos de un círculo unitario. La definición clásica en términos de triángulos rectos es más limitada en cuanto a su alcance. Por ello, en el Cálculo se utiliza la definición más robusta en términos de la circunferencia unitaria. A partir de esta definición “estándar” se pueden demostrar todas las identidades de las funciones trigonométricas.
Arccosine
Has visto bastantes identidades trigonométricas en las últimas páginas. Es conveniente tener un resumen de ellas como referencia. Estas identidades se refieren en su mayoría a un ángulo denominado θ, pero hay algunas que implican dos ángulos, y para ellas, los dos ángulos se denominan α y β.
Además: curiosamente, estas identidades de producto se utilizaban antes de que se inventaran los logaritmos para realizar la multiplicación. Así es como se puede utilizar la segunda. Si quieres multiplicar x por y, utiliza una tabla para buscar el ángulo α cuyo coseno es x y el ángulo β cuyo coseno es y. Busca los cosenos de la suma α + β. y de la diferencia α – β. Haz la media de esos dos cosenos. ¡Obtienes el producto xy! Tres búsquedas en la tabla, y el cálculo de una suma, una diferencia y un promedio en lugar de una multiplicación. Tycho Brahe (1546-1601), entre otros,
Fórmula del pecado
En el módulo Congruencia (8º curso), se hizo hincapié en que, al aplicar la prueba de congruencia del SAS, el ángulo en cuestión tiene que ser el ángulo incluido entre los dos lados. Por ejemplo, el siguiente diagrama muestra dos triángulos no congruentes \(ABC\) y \(ABC’\) que tienen dos pares de lados iguales y comparten un ángulo común (no incluido).
Supongamos que un triángulo \(PQR\) tiene \(PQ = 9\), \(\ ángulo PQR = 45^\c\) y \(PR = 7\). Entonces el ángulo opuesto a \(PQ\) no está determinado unívocamente. Hay dos triángulos no congruentes que satisfacen los datos dados.
Así, \(\theta \approx 65^\c\), suponiendo que \(\theta\) es agudo. Pero el ángulo suplementario es \(\theta’ \approx 115^\circ\). El triángulo \(PQR’\\N) también satisface los datos dados. Esta situación se denomina a veces el caso ambiguo.
Sabemos por la prueba de congruencia de SAS que un triángulo está completamente determinado si nos dan dos lados y el ángulo incluido. Sin embargo, si conocemos dos lados y el ángulo incluido en un triángulo, la regla del seno no nos ayuda a determinar el lado o los ángulos restantes.
