Seno en trigonometria
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Funciones de trigonometría
Base de la trigonometría: si dos triángulos rectos tienen ángulos agudos iguales, son semejantes, por lo que sus longitudes laterales son proporcionales. Las constantes de proporcionalidad se escriben dentro de la imagen: sin θ, cos θ, tan θ, donde θ es la medida común de cinco ángulos agudos.
En matemáticas, las funciones trigonométricas (también llamadas funciones circulares, funciones angulares o funciones goniométricas[1][2]) son funciones reales que relacionan un ángulo de un triángulo rectángulo con las relaciones de dos longitudes laterales. Se utilizan ampliamente en todas las ciencias relacionadas con la geometría, como la navegación, la mecánica de sólidos, la mecánica celeste, la geodesia y muchas otras. Se encuentran entre las funciones periódicas más sencillas y, como tales, también se utilizan ampliamente para estudiar los fenómenos periódicos mediante el análisis de Fourier.
Las funciones trigonométricas más utilizadas en las matemáticas modernas son el seno, el coseno y la tangente. Sus recíprocas son, respectivamente, la cosecante, la secante y la cotangente, que son menos utilizadas. Cada una de estas seis funciones trigonométricas tiene su correspondiente función inversa (llamada función trigonométrica inversa), y también un equivalente en las funciones hiperbólicas[3].
Recíproco del seno en trigonometría
En matemáticas, el seno es una función trigonométrica de un ángulo. El seno de un ángulo agudo se define en el contexto de un triángulo rectángulo: para el ángulo especificado, es la relación entre la longitud del lado opuesto a ese ángulo y la longitud del lado más largo del triángulo (la hipotenusa). Para un ángulo
De forma más general, la definición de seno (y otras funciones trigonométricas) puede extenderse a cualquier valor real en términos de la longitud de un determinado segmento de línea en un círculo unitario. Las definiciones más modernas expresan el seno como una serie infinita, o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos arbitrarios e incluso a números complejos.
La función seno se utiliza habitualmente para modelar fenómenos periódicos como las ondas sonoras y luminosas, la posición y la velocidad de los osciladores armónicos, la intensidad de la luz solar y la duración del día, y las variaciones de la temperatura media a lo largo del año.
Para definir la función seno de un ángulo agudo α, se parte de un triángulo rectángulo que contiene un ángulo de medida α; en la figura adjunta, el ángulo α del triángulo ABC es el ángulo de interés. Los tres lados del triángulo se denominan como sigue:
Tangente
La función trigonométrica seno está estrechamente relacionada con la función de cuerda griega (si no conoce la función de cuerda, puede leer la página titulada “Cuerdas”). De hecho, la función seno, a veces conocida como función de media cuerda, tiene la misma relación con el radio de una circunferencia que la función de cuerda tiene con el diámetro de una circunferencia. La primera aparición de la función seno (a diferencia de la función cuerda) aparece en el Surya Siddhanta (la palabra Siddhanta significa doctrina o tradición), a veces descrito como un libro de texto de Astronomía hindú, y probablemente el más conocido de una serie de Siddhantas. El origen exacto de estos escritos es objeto de conjeturas. Se cree que el Surya Siddhanta está influenciado por los escritos de los astrónomos griegos, cuyas traducciones al sánscrito estaban disponibles en la India en el siglo III de nuestra era, aunque podría ser mucho más antiguo.
El matemático y astrónomo indio Aryabhata conocía sin duda las propiedades de la función seno (o media cuerda). Su célebre obra, llamada Aryabhativa, recogía las enseñanzas contenidas en los distintos Siddhantas. Esta obra, escrita hacia finales del siglo V de nuestra era, incluía una definición del seno como la relación entre la mitad de una cuerda y la mitad del ángulo central subtendido por la cuerda. También incluía tablas de valores de senos desde cero grados (0°) hasta noventa grados (90°) en veinticuatro incrementos de tres grados y cuarto (3,75°). Se cree que son los ejemplos más antiguos de tablas de senos que se conservan y tienen una precisión de cuatro decimales. La relación entre la media cuerda y el ángulo central θ que subtiende se ilustra a continuación.
Fórmula del seno
Estas fórmulas relacionan longitudes y áreas de determinados círculos o triángulos. En la página siguiente encontrarás las identidades. Las identidades no se refieren a figuras geométricas concretas, sino que valen para todos los ángulos.
Las fórmulas más importantes de la trigonometría son las del triángulo rectángulo. Si θ es uno de los ángulos agudos de un triángulo, el seno de theta es la relación entre el lado opuesto y la hipotenusa, el coseno es la relación entre el lado adyacente y la hipotenusa, y la tangente es la relación entre el lado opuesto y el adyacente.
Estas tres fórmulas se conocen colectivamente con el mnemónico SohCahToa. Además de éstas, existe la importantísima fórmula pitagórica que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Estas fórmulas sirven para cualquier triángulo, ya sea agudo, obtuso o rectángulo. Utilizaremos la notación estándar, en la que los tres vértices del triángulo se indican con las letras mayúsculas A, B y C, mientras que los tres lados opuestos a ellos se indican respectivamente con las letras minúsculas a, b y c.
